METODOS NUMERICOS

jueves, 9 de abril de 2020

Mapa Mental: Diferenciación Númerica

miércoles, 25 de marzo de 2020

La integración múltiple es el proceso de encontrar las primitivas de una función de varias variables respecto a todas las variables independientes que dicha función posea. Generalmente la aplicación más directa es la integral definida,

utilizada para encontrar áreas de regiones y volúmenes de superficies en el espacio.

Integral doble

La doble integral es utilizada en funciones de dos variables independientes, de la forma z = f ( x , y ). La integral de esta función tiene la forma siguiente:

A la integral anterior se le llama integral iterada, pues el proceso se realiza por pasos. El orden de integración puede cambiar primero respecto a y y luego respecto a x o viceversa. El proceso consiste en integrar primero la función respecto a la primera variable y volver la otra constante para luego integrar ese resultado respecto a la variable restante.

La doble integral definida se usa para encontrar áreas o volúmenes. Para encontrar áreas no es necesario contar con una función. Por ejemplo, el área de una circunferencia con centro en el origen de radio 1.

Para encontrar el área del círculo, que en este caso es igual a Pi, se pueden usar ambos ordenes de integración. Esto depende de lo siguiente. La ecuación de este círculo es:

La ecuación se puede despejar respecto a las dos variables. Lo más importante son los límites de integración. La región tipo I se obtiene al sumar las áreas de rectángulos verticales, como se acostumbra. En este caso, primero se integra respecto a y y luego respecto a x. Los límites de la primera integral son funciones de la forma y = f(x).

Entonces, la función se despeja respecto a y para encontrar los límites de integración de esa variable. Los límites de integración de x son siempre constantes y representan el rango en el que x se mueve; en este caso, el radio de la circunferencia.

Cuando los límites superior e inferior son idénticos a excepción del signo, se dice que existe simetría. Por ello, el límite inferior puede ser 0 y la integral completa se multiplica por 2. En este caso, por 4 pues los dos pares de límites son simétricos.

La integral se resuelve de la forma convencional. Se integra y se evalúa, dos veces:

En caso de la región tipo II, los rectángulos son horizontales y es la variable x la que depende de y. El despeje es al revés, y los límites de integración de y son iguales que los de x en el primer ejemplo.

La integral queda resuelta de esta forma:

Cuando una integral doble no contiene función en el argumento, el cálculo corresponde a un área limitada por los límites de integración. Cuando la integral doble sí contiene una función en el argumento, de la forma z = f( x, y ), el cálculo de la integral corresponde al volumen entre la superficie en el espacio representada por dicha función y una región representada por los límites de integración. Por ejemplo la función de la esfera con centro en el origen y radio 1:

Se despeja la función respecto a z. En este caso, solo se calculara el volumen de la mitad superior de la esfera para ocupar la raíz positiva. La integral se multiplicará por 2 para obtener el volumen total. En ese caso, el orden de integración puede ser el que sea. Por naturalidad, se usará una región tipo I. La región sobre el plano xy desde la cuál se mide el volumen hasta la superficie es una circunferencia con centro en el origen con radio 1. Se puede obtener igualando z a 0. Los límites de x y y quedan como sigue:

La integral, entonces, se plantea de la siguiente manera:

Como los límites de integración de ambas variables presentan simetría, la integral puede empezar desde 0 en ambos y se multiplica por 4:

La resolución de la integral es compleja pues convergen varios métodos de integración. Pero el resultado, que es constante, equivale al resultado de calcular el volumen de la esfera por la ecuación:

Integral triple

La integral triple se usa en funciones de la forma w = f ( x, y, z). Puede utilizarse para encontrar volúmenes de superficies o entre superficies e hipervolúmenes, que si bien poseen una magnitud, no tienen una representación física. Encontrar los límites de integración es nuevamente la tarea más compleja. En general, debería ser de la forma siguiente:

Este es el orden convencional. Sin embargo si el orden de los diferenciales cambian, también lo hacen los límites de integración. Pero la función siempre se queda intacta.

Cuando la integral no tiene una función en el argumento, el cálculo corresponde a un volumen. Por ejemplo, se pide encontrar el volumen del primer octante del sólido acotado por las siguientes superficies:

El volumen que se pide es solo en el primer octante. De acuerdo a esto, la variable z varía desde 0 hasta el valor correspondiente de la función z (x,y). El primer diferencial es z. Para la variable x y y, es conveniente hacer un despeje para que el diferencial de x vaya primero:

De esta forma, y queda como una función de x. Finalmente, la intersección del plano con el cilindro está en y = 1, y se parte desde el origen. Por fin, la integral queda de la siguiente forma:

La integral se resuelve de la misma forma que en integrales dobles, mediante la iteración hasta encontrar un valor constante que corresponde al volumen de la figura.

Integración numérica

Integración numérica

La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

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DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

La diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Se desarrollarán fórmulas para aproximaciones de diferencias hacia delante, hacia atrás y centradas para la primera derivada utilizando la serie truncada de Taylor.

En el mejor de los casos, estas estimaciones presentan errores de orden O(h²); es decir, sus errores fueron proporcionales al cuadrado de su tamaño de paso. Este nivel de exactitud se debe al número de términos de la serie de Taylor.

Se desarrollarán fórmulas para aproximaciones de diferencias hacia delante, hacia atrás y centradas para la primera derivada utilizando la serie truncada de Taylor.

Diferencias Divididas Finitas, 1ª derivada:

Definiendo un tamaño de paso h = x_i+1 – x_i

- Hacia delante:

$f(x_{i + 1} ) = f(x_i ) + f'(x_i )h + {{f''(x_i )} \over {2!}}h^2 + {{f'''(x_i )} \over {3!}}h^3 + \ldots$

$f'(x_i ) \simeq {{f(x_{i + 1} ) - f(x_i )} \over h} + O(h)$

- Hacia atrás:

$f(x_{i - 1} ) = f(x_i ) - f'(x_i )h + {{f''(x_i )} \over {2!}}h^2 - {{f'''(x_i )} \over {3!}}h^3 + \ldots$

$f'(x_i ) \simeq {{f(x_i ) - f(x_{i - 1} )} \over h} + O(h)$

- Central:

$f'(x_i ) \simeq {{f(x_{i + 1} ) - f(x_{i - 1} )} \over {2h}} + O(h^2 )$

Diferenciación de fórmulas de alta exactitud:

Se pueden generar fórmulas de alta exactitud al incluir términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor. Teniendo en cuenta el término de la segunda derivada:

$f(x_{i + 1} ) = f(x_i ) + f'(x_i )h + {{f''(x_i )} \over {2!}}h^2 + \ldots$

Despejando para la primera derivada:

$f(x_{i + 1} ) = f(x_i ) + f'(x_i )h + {{f''(x_i )} \over {2!}}h^2 + \ldots$

De la expansión de Taylor hacia delante para f(x_i+2) en términos de f(x_i):

$f''(x_i ) = {{f(x_{i + 2} ) - 2f(x_{i + 1} ) + f(x_i )} \over {h^2 }} + O(h)$

Despejando para f’’(x_i):

$f'(x_i ) = {{f(x_{i + 1} ) - f(x_i )} \over h} - {{f(x_{i + 2} ) - 2f(x_{i + 1} ) + f(x_i )} \over {2h^2 }}h$

Agrupando términos y reordenando:

$f'(x_i ) = {{ - f(x_{i + 2} ) + 4f(x_{i + 1} ) - 3f(x_i )} \over {2h}} + O(h^2 )$

La inclusión del término de la segunda derivada mejoró la exactitud en O(h^₂).

Se pueden desarrollar fórmulas similares para las fórmulas centradas y hacia atrás.

Codigo de Biseccion

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel;
using System.Data;
using System.Drawing;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
using System.Windows.Forms;

namespace Bisección
{
public partial class Form1 : Form
{
public Form1()
{
InitializeComponent();
}

private void Boton_Click(object sender, EventArgs e)
{
int ni, i;
i = 0; ni = 0;
Double xl, xu, xr, xrr, a, b, c;

xl = Convert.ToDouble(XL.Text);
xu = Convert.ToDouble(XU.Text);
ni = Convert.ToInt16(NI.Text);

for (i = 0; i <= ni; i++)
{
xr = Convert.ToDouble(((xl - xu)/2)) ;
if(xr < 0)
{
xr = Convert.ToDouble(xr * -1);
}

a = (Math.Pow(xl, 2) - 4);
b = (Math.Pow(xr, 2) - 4);
c = (Math.Pow(xu, 2) - 4);
if (a < 0)
{
xl = xl;
xu = xr;
}
else
xl = xr;
xu = xu;
}

XLR.Text = Convert.ToString(xl);
XUR.Text = Convert.ToString(xu);
R.Text = Convert.ToString(xr);
}
}
}

Decimal a binario flotante

jueves, 27 de febrero de 2020

PROCEDIMIENTO:
1)Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar).

2)Ejemplo: vamos a pasar a binario -255
-225 1 (impar). Dividimos entre dos:
-127 1 (impar). Dividimos entre dos:
-63 1 (impar). Dividimos entre dos:
-31 1 (impar). Dividimos entre dos:
-15 1 (impar). Dividimos entre dos:
-7 1 (impar). Dividimos entre dos:
-3 1 (impar). Dividimos entre dos:-1 1 (impar).

Por tanto, -255 = 11111111

3)Posteriormente lo colocaremos en una palabra(16 bits). El signo negativo le colocamos un 1 en el primer bit.

miércoles, 19 de febrero de 2020

maclaurin

Video Metodos Iterativos

Métodos Iterativos

Métodos iterativos.

Trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial.

Considere el problema de encontrar una raíz a una ecuación cuadrática, por ejemplo:

f(x) = x2 − x − 2 = 0

Un método directo para resolverlo es aplicar la fórmula general

Un método iterativo consta de los siguientes pasos.

1. inicia con una solución aproximada (Semilla).

2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.

Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

Ventajas y Desventajas:

Un elemento en contra que tienen los métodos iterativos sobre los métodos directos es que calculan aproximaciones a la solución. Los métodos iterativos se usan cuando no se conoce un método para obtener la solución en forma exacta. También se utilizan cuando el método para determinar la solución exacta requiere mucho tiempo de cálculo, cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el número de iteraciones es relativamente reducido.

Puntos fijos atractivos

Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x) = x, y una solución x es un punto fijo atractivo de la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn) para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥ 1 convergerá a la solución x.

Sistemas lineales

En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los más generales métodos del subespacio de krylov

Métodos iterativos estacionarios

Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que se aproxima al original; y basándose en la medida de error (el residuo), desde una ecuación de corrección para la que se repite este proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.

Métodos del subespacio de Krylov

Los métodos del subespacio de Krylov forman una base ortogonal de la secuencia de potencias de la matriz por el residuo inicial (la secuencia de Krylov). Las aproximaciones a la solución se forman minimizando el residuo en el subespacio formado. El método prototípico de esta clase es el método del gradiente conjugado. Otros métodos son el método del residuo mínimo generalizado y el método del gradiente biconjugado.

Convergencia

Dado que estos métodos forman una base, el método converge en N iteraciones, donde N es el tamaño del sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no se sostiene; además, en la práctica N puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función del espectro del operador.

Pre condicionante

El operador aproximativo que aparece en los métodos iterativos estacionarios puede incorporarse también en los métodos del subespacio de Krylov, donde se pasan de ser transformaciones del operador original a un operador mejor condicionado. La construcción de precondicionadores es un área de investigación muy extensa.

El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica

sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + Bx (1)

Donde x es el vector de incógnitas.

2. Se toma una aproximación para las soluciones

3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

xi+1 = c + Bxi (2)

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